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La cinta de Möbius (Moebius)
Grupo Elron

 

Una sencilla e ingeniosa invención

Aunque hace casi 150 años que el astrónomo y matemático alemán Augusto Ferdinand Möbius (1790-1868) creó la cinta que lleva su nombre, sus propiedades todavía nos asombran y siguen estimulando nuestra imaginación. Durante años, matemáticos, artistas, científicos y escritores han puesto a prueba su sencilla e ingeniosa construcción. La misma Creación, es decir, los infinitos Big Bang-Big Crunch) ha sido diseñada por el Absoluto conforme a esta cinta. A continuación te presentamos algunas de sus propiedades y usos. Lo mejor que puedes hacer es que tú mismo te pongas a investigar sobre ella. Para ello solamente necesitas papel y una tijera.

 

 

Figura 1


Figura 2


Figura 3

 

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CINTA DE MÖBIUS

 

Haciendo magia con la cinta de Möbius

 

Experimento sobre superficies sinfín.

 

Autor: "Explora"

Fuente: http://www.conicyt.cl/explora

 

 

Material

 

- Un rectángulo alargado de papel, con una de las caras coloreada

- Cinta adhesiva

- Tijeras

 

 

Procedimiento

 

1 Recorta el rectángulo alargado.

2 Dibuja sobre la cara blanca, a lo largo, una línea segmentada o punteada.

3 Construye con él un cilindro sin tapas, uniendo con cinta adhesiva los extremos del rectángulo (como se indica en la figura 1).

4 Imagina que dejamos a una hormiga caminando por el cilindro sometida a la norma de moverse exclusivamente por la línea punteada, siempre en el mismo sentido. En tal caso, sólo caminará por el interior del cilindro (o por el exterior, si la línea punteada la dejaste fuera). Es decir, el cilindro tiene un interior y un exterior.

5 Retira cuidadosamente la cinta adhesiva y vuelve a unir entre sí los extremos, dando previamente un giro al rectángulo (ver figuras 2 y 3).

 

 

Explicación

 

Lo que has construido se llama "Cinta de Möbius". En este caso, la hormiga no podrá obedecer la norma establecida; primero recorrerá toda la línea punteada y, si se la obliga a continuar adelante, necesariamente comenzará a caminar por el lado sin línea punteada; enseguida retomará la línea punteada y así, sucesivamente . Es decir, la "Cinta de Möbius" tiene sólo una cara (no hay interior ni exterior); a este tipo de figuras se les denomina "figuras sin fin".

...



 

 

UNA CINTA MÁGICA

        Te propongo un problema. Dados cuatro puntos en el plano A,B,C,D, unir cada uno a los otros tres mediante líneas rectas o curvas del plano que no se crucen. Cada línea debe contener sólo dos de los puntos. Piensa. Fácil ¿no?

        Ahora un poco más difícil. Dados cinco puntos en el plano, unir cada uno a los otros cuatro por líneas que no se crucen.

Prueba un rato. Parece más difícil ¿no?... Yo diría más aún: ¡Imposible! Fijate: si colocas cuatro puntos A,B,C,D, los puedes unir como has hccho antes

Ahora te preguntas: de entre las regiones del plano que han resultado, ¿dónde podría quedar el quinto punto E de modo que el problema fuese posible? Si está en 1 no se puede unir a C, si está en 2 no se puede unir a A, si está en 3 no se puede unir a B y si está en 4 no se puede unir a D. Así esté donde esté resulta que la tarea es imposible.

        Otra tarea imposible que alguna vez te habrán propuesto es la siguiente

        A, B, C son tres granjas y 1,2,3 son tres pozos. Cada uno de los granjeros de A, B, C quiere hacer tres conducciones de agua a cada uno de los tres pozos, pero no quiere que su toma de agua se cruce con ninguna de las de los otros. Es decir, se trata de trazar nueve líneas en el plazo A1, A2, A3, B1, B2, B3, C1, C2, C3, que no se crucen. Inténtalo un rato pero no demasiado largo. ¡El problema es imposible! Sin embargo, si los granjeros vivieran en la cinta mágica que vamos a construir ahora, el problema se les resolvería fácilmente.

        Coge una tira de papel así

Vas a plegar sus bordes MN con PQ, pero antes de hacerlo le das media vuelta al de la derecha. Así

A continuación los pegas de modo que Q vaya a M y P a N. Te queda algo como esto que te pinto

¡Ahí tienes la cinta de Möbius! ¿Qué tiene de mágico? Coloca tus granjas y tus pozos. Así

Trata de resolver ahora el problema de los granjeros caprichosos. Desde A sales por una linea a la misma distancia del borde que A y verás que llegas al punto 3... ¡sólo que por detrás! Así mismo, saliendo de C por una línea a la misma distancia del borde que C verás que llegas al punto 1... ¡también por detrás!

        Completar las otras conducciones es cosa fácil.

        También el problema de los cinco puntos se resuelve de modo parecido sobre la cinta de Möbius.

¿Se podrá resolver el problema semejante de los seis puntos sobre la cinta de Möbius? ¡Si! ¡Ánimo!

        Parece que podemos decir: "Alto, Möbius! Has hecho trampa. Hemos llegado a los puntos que queríamos, pero por el otro lado.
Así... ¡cualquiera lo hace!" "¿Otro lado? ¿Qué otro lado?" diría Möbius-. "Si ves dos lados en mi cinta, por favor píntame uno de azul y el otro de negro". Trata de hacerlo con tus lápices. Empieza a pintar de negro por algún sitio, sin pasar en ningún momento por ningún borde, sigue, sigue... ¿Qué pasa? ¡Has pintado toda la cinta! ¡No queda nada para pintar de azul! Y eso que no te has pasado por ningún borde... La cinta tiene sólo lado. Es totalmente distinta de una cinta cilíndrica. Hazte una así

Aquí si empiezas a pintar de negro y no pasas en ningún momento por el borde terminas pintando una cara y queda otra para el azul. También se diferencia en otra cosa curiosa. La cinta cilíndrica tiene claramente dos bordes. ¿Y la de Möbius? Ve recorriendo el borde y comprobarás que de una pasada lo recorres todo. La cinta de Möbius tiene sólo un borde y una sola cara.

        La cinta de Möbius presenta otras muchas sorpresas. En la cinta cilíndrica de arriba metes unas tijeras y comienzas a cortar por una línea paralela a los bordes

acabas llegando al punto de partida y salen dos cintas cilíndricas parecidas a la primera separadas... ¡naturalmente!

        Haz los mismo con la cinta de Möbius. ¿Qué sale?...

Curioso ¿no? Llegas al punto de partida y resulta una sola cinta parecida a la que tenías, sólo que más larga. ¿Será igual? Córtala otra vez por la mitad a lo largo de una línea paralela al borde. Si fuera igual que la primera le tendría que pasar lo mismo, es decir, tendría que resultar otra cinta más larga ¿no? ¿Qué sale? ¡Dos cintas enlazadas! Luego, no era igual. Hazte otra cinta de Möbius y repite el experimento de dividirla por una línea paralela al borde. Si te fijas bien en la cinta que te resulta observarás fácilmente que tiene dos bordes y dos caras. Es como una cinta de Möbius pero construída con dos medias vueltas en lugar de una.

        Otro experimento interesante. Corta una cinta de Möbius paralelamente a su borde comenzando ahora a una distancia que sea más o menos un tercio de su anchura. Así

Verás que salen dos cintas enlazadas, una pequeña, que es una cinta de Möbius de las de media vuelta, y otra más grande con cuatro medias vueltas.

        Ahora puedes experimentar más por tu cuenta. Por ejemplo, puedes hacerte con una cinta con cinco medias vueltas. ¿Cuántas caras tendrá? ¿Cuantos bordes? ¿Qué pasará si cortas por la mitad? ¿Por qué no te haces con un procedimiento de adivinar lo que va a pasar antes de hacerlo? Después de unas cuantas experiencias seguro que das con la clave.